Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\tan (\frac{6}{x})}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (\frac{6}{x})$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x})}{\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (\frac{6}{x})}{\cos (\frac{6}{x})}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\sin (\frac{3}{x}) \cos (\frac{6}{x})}{\sin (\frac{6}{x})}$ в $\sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cot (\frac{6}{x})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sin (\frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\sin (lim_{x \to 8} \frac{3}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sin (3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} \cot (\frac{6}{x})$

Этап 7

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (lim_{x \to 8} \frac{6}{x})$

Этап 8

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sin (3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sin (3 (\frac{1}{8})) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\sin (\frac{3}{8}) \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Этап 12.2

Найдем значение $\sin (\frac{3}{8})$ .

$0.36627252 \cdot \cot (6 (\frac{1}{8}))$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 (3) \frac{1}{8})$

Этап 12.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель.

$0.36627252 \cdot \cot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Этап 12.3.4

Перепишем это выражение.

$0.36627252 \cdot \cot (3 (\frac{1}{4}))$

Этап 12.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$0.36627252 \cdot \cot (\frac{3}{4})$

Этап 12.5

Найдем значение $\cot (\frac{3}{4})$ .

$0.36627252 \cdot 1.07342614$

Этап 12.6

Умножим $0.36627252$ на $1.07342614$ .

$0.39316651$