Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 1}{x + 8 x^{2}}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 x^{2}}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 8} x + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 64 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1 \cdot 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 11.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{128 - 1}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 11.4

Вычтем $1$ из $128$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Этап 11.5

Умножим $8$ на $8^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Этап 11.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{1 + 2}}}$

Этап 11.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 8^{3}}}$

Этап 11.6

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\sqrt{\frac{127}{8 + 512}}$

Этап 11.7

Добавим $8$ и $512$ .

$\sqrt{\frac{127}{520}}$

Этап 11.8

Перепишем $\sqrt{\frac{127}{520}}$ в виде $\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{520}}$

Этап 11.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перепишем $520$ в виде $2^{2} \cdot 130$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1.1

Вынесем множитель $4$ из $520$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{4 (130)}}$

Этап 11.9.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{\sqrt{2^{2} \cdot 130}}$

Этап 11.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$

Этап 11.10

Умножим $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ на $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}} \cdot \frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$

Этап 11.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{127}}{2 \sqrt{130}}$ на $\frac{\sqrt{130}}{\sqrt{130}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \sqrt{130} \sqrt{130}}$

Этап 11.11.2

Перенесем $\sqrt{130}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 (\sqrt{130} \sqrt{130})}$

Этап 11.11.3

Возведем $\sqrt{130}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} \sqrt{130})}$

Этап 11.11.4

Возведем $\sqrt{130}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 ({\sqrt{130}}^{1} {\sqrt{130}}^{1})}$

Этап 11.11.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{1 + 1}}$

Этап 11.11.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {\sqrt{130}}^{2}}$

Этап 11.11.7

Перепишем ${\sqrt{130}}^{2}$ в виде $130$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{130}$ в виде $130^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 11.11.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 11.11.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.11.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.11.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130^{1}}$

Этап 11.11.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{127} \sqrt{130}}{2 \cdot 130}$

Этап 11.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{127 \cdot 130}}{2 \cdot 130}$

Этап 11.12.2

Умножим $127$ на $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{2 \cdot 130}$

Этап 11.13

Умножим $2$ на $130$ .

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{16510}}{260}$

Десятичная форма:

$0.49419709 \dots$