Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{49 x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Этап 2

Вынесем член $49$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{49 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{2 + 4 x^{2}}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{49 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + 4 x^{2}}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + lim_{x \to 8} 4 x^{2}}}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{49 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{49 \frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $49$ и $\frac{8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 8^{2}}}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 4 \cdot 64}}$

Этап 10.3

Умножим $4$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{2 + 256}}$

Этап 10.4

Добавим $2$ и $256$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 8^{2}}{258}}$

Этап 10.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{49 \cdot 64}{258}}$

Этап 10.6

Умножим $49$ на $64$ .

$\sqrt{\frac{3136}{258}}$

Этап 10.7

Сократим общий множитель $3136$ и $258$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $2$ из $3136$ .

$\sqrt{\frac{2 (1568)}{258}}$

Этап 10.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $258$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Этап 10.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1568}{2 \cdot 129}}$

Этап 10.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{1568}{129}}$

Этап 10.8

Перепишем $\sqrt{\frac{1568}{129}}$ в виде $\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{\sqrt{1568}}{\sqrt{129}}$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Перепишем $1568$ в виде $28^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1.1

Вынесем множитель $784$ из $1568$ .

$\frac{\sqrt{784 (2)}}{\sqrt{129}}$

Этап 10.9.1.2

Перепишем $784$ в виде $28^{2}$ .

$\frac{\sqrt{28^{2} \cdot 2}}{\sqrt{129}}$

Этап 10.9.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$

Этап 10.10

Умножим $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ на $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}} \cdot \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$

Этап 10.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.1

Умножим $\frac{28 \sqrt{2}}{\sqrt{129}}$ на $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{129}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{\sqrt{129} \sqrt{129}}$

Этап 10.11.2

Возведем $\sqrt{129}$ в степень $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} \sqrt{129}}$

Этап 10.11.3

Возведем $\sqrt{129}$ в степень $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1} {\sqrt{129}}^{1}}$

Этап 10.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{1 + 1}}$

Этап 10.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{\sqrt{129}}^{2}}$

Этап 10.11.6

Перепишем ${\sqrt{129}}^{2}$ в виде $129$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{129}$ в виде $129^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{{(129^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129^{1}}$

Этап 10.11.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{28 \sqrt{2} \sqrt{129}}{129}$

Этап 10.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{28 \sqrt{129 \cdot 2}}{129}$

Этап 10.12.2

Умножим $129$ на $2$ .

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{28 \sqrt{258}}{129}$

Десятичная форма:

$3.48640771 \dots$