Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

Этап 5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

Этап 7.2.2

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

Этап 7.2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

Этап 7.2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 7.4.2

Перенесем $\sqrt{10}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Этап 7.4.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Этап 7.4.4

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Этап 7.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 7.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 7.4.7

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

Этап 7.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Этап 7.5

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Десятичная форма:

$0.58326305 \dots$