Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.5.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 1 + \cos (x)}{1}$

Этап 2.4

Разделим $2 x - 1 + \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x - 1 + \cos (x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1 + \cos (0))$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + \cos (0))$

Этап 5.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 + 1)$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- 1 + 1)$

Этап 5.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$