Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{- 8 x}{\sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Этап 1

Вынесем член $- 8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 8 lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{36 x^{2} + 8}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 36 x^{2} + 8}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 36 x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 5

Вынесем член $36$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 7

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$- 8 \frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 \cdot 8^{2} + 8}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{36 \cdot 64 + 8}}$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $64$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{2304 + 8}}$

Этап 9.1.3

Добавим $2304$ и $8$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{2312}}$

Этап 9.1.4

Перепишем $2312$ в виде $34^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $1156$ из $2312$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{1156 (2)}}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем $1156$ в виде $34^{2}$ .

$- 8 \frac{8}{\sqrt{34^{2} \cdot 2}}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$- 8 \frac{8}{34 \sqrt{2}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$2 (- 4) \frac{8}{34 \sqrt{2}}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $2$ из $34 \sqrt{2}$ .

$2 (- 4) \frac{8}{2 (17 \sqrt{2})}$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 4 \frac{8}{2 (17 \sqrt{2})}$

Этап 9.2.4

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{8}{17 \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Объединим $- 4$ и $\frac{8}{17 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 8}{17 \sqrt{2}}$

Этап 9.4

Умножим $- 4$ на $8$ .

$\frac{- 32}{17 \sqrt{2}}$

Этап 9.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{32}{17 \sqrt{2}}$

Этап 9.6

Умножим $\frac{32}{17 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{32}{17 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 9.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $\frac{32}{17 \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.7.2

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Этап 9.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Этап 9.7.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Этап 9.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.7.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.7.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.7.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.7.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.7.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2^{1}}$

Этап 9.7.7.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{32 \sqrt{2}}{17 \cdot 2}$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Вынесем множитель $2$ из $32 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{17 \cdot 2}$

Этап 9.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $17 \cdot 2$ .

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{2 \cdot 17}$

Этап 9.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (16 \sqrt{2})}{2 \cdot 17}$

Этап 9.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{16 \sqrt{2}}{17}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{16 \sqrt{2}}{17}$

Десятичная форма:

$- 1.33102452 \dots$