Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.1.7

Найдем предел $\frac{1}{2}$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.2.3.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Этап 1.1.3.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ в виде ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{- 1}$ и $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $2 + \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.5

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.3.6

Добавим $0$ и $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $θ$ , производная $- \frac{1}{2}$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Объединим $\cos (θ)$ и $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.5.2.2

Добавим $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ и $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 1.3.6

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{1}{\cos (θ)}$ на $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 1.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Этап 3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$