Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x \ln (1 + \frac{2}{x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \frac{2}{x})$

Этап 2

Внесем предел под знак логарифма.

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \frac{2}{x})$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \frac{2}{x})$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \frac{2}{x})$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \ln (1 + 2 (\frac{1}{8}))$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{2 (4)})$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$8 \cdot \ln (1 + 2 \frac{1}{2 \cdot 4})$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$8 \cdot \ln (1 + \frac{1}{4})$

Этап 9.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \cdot \ln (\frac{4}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \cdot \ln (\frac{4 + 1}{4})$

Этап 9.4

Добавим $4$ и $1$ .

$8 \ln (\frac{5}{4})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 \ln (\frac{5}{4})$

Десятичная форма:

$1.78514841 \dots$