Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Этап 3

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Этап 7.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{8})$ : $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 7.2.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Этап 7.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Этап 7.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Этап 7.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Этап 7.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Этап 7.2.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 7.2.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Этап 7.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 7.2.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 7.2.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.8.1

Сократим общий множитель.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 7.2.4.8.2

Перепишем это выражение.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Этап 7.2.4.9

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Этап 7.2.4.10

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Этап 7.2.4.11

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Этап 7.2.4.12

Упростим.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.13

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.14.1

Сократим общий множитель.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.14.2

Перепишем это выражение.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.15

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.2

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Этап 7.2.4.16.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Этап 7.2.4.16.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.1.5

Найдем экспоненту.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 7.2.4.16.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Этап 7.2.4.16.4

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Этап 7.2.4.16.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Этап 7.2.4.16.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Этап 7.2.4.16.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.16.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Этап 7.2.4.16.4.4.2

Сократим общий множитель.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Этап 7.2.4.16.4.4.3

Перепишем это выражение.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Этап 7.2.4.16.4.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Этап 7.2.4.16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Этап 7.2.4.16.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Этап 7.2.4.17

Добавим $2$ и $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.18

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$3.31370849 \dots$