Математический анализ Примеры

$x e^{x}$

Этап 1

Запишем $x e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 2.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x e^{x} + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 3.2.4

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 3.3

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.2

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 5.1.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Этап 6.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 6.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Этап 10.1.2

Перепишем $- 1 \frac{1}{e}$ в виде $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Этап 10.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Этап 10.1.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Этап 10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

Этап 10.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 11

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 12.2.2

Перепишем $- 1 \frac{1}{e}$ в виде $- \frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = x e^{x}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e})$ — локальный минимум

Этап 14