Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

Этап 5.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y' + 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ .

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ на $3 y^{2} + 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ на $3 y^{2} + 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (2 x - 1)$ в виде $- 1 (2 x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$