Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{2 \sin^{2} (θ)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} 1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin^{2} (θ)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (θ)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (lim_{θ \to 0} θ)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Этап 2.1.3.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to 0} \frac{1 - \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $θ$ , производная $- \cos (θ)$ по $θ$ равна $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.4.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + 1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.4.4

Умножим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{0 + \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.5

Добавим $0$ и $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 2.3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 2.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Этап 2.3.7

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Этап 2.3.8.2

Изменим порядок $2 \cos (θ)$ и $\sin (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (θ) \cdot 2 \cos (θ)}$

Этап 2.3.8.3

Изменим порядок $\sin (θ)$ и $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)}$

Этап 2.3.8.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Этап 3.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (2 θ)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Этап 3.1.3.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{\sin (2 θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2 \cdot 1}$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ) \cdot 2}$

Этап 3.3.7

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 θ)$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{2 \cos (2 θ)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\cos (2 θ)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (2 θ)}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} 2 θ)}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 lim_{θ \to 0} θ)}$

Этап 5.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Этап 6.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 6.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$