Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 8 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.1.5

Умножим $- 10$ на $4$ .

$\frac{16 + 24 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.2

Добавим $16$ и $24$ .

$\frac{40 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.2.8.3

Вычтем $40$ из $40$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.5.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{2}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $2$ на $- 10$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \cdot 1}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.7

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 2.9

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 2.10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 3.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2$ и $2 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- (- 2 \cdot 2 + 2)$ в виде $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $2$ из $9 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.8

Вынесем множитель $2$ из $- 20 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.9

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Этап 4.1.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Этап 4.1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Этап 4.1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + 3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2^{4} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16 + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.3

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{16 + 18 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.4

Умножим $- 10$ на $2$ .

$\frac{16 + 18 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.5

Добавим $16$ и $18$ .

$\frac{34 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.2.6

Вычтем $20$ из $34$ .

$\frac{14}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{14}{- 1 (- 2 + 1)}$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{14}{- 1 \cdot - 1}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{14}{1}$

Этап 4.5

Разделим $14$ на $1$ .

$14$