Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \ln (x))}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (8))}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\ln (\ln (8))$ .

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Десятичная форма:

$1.09583038 \dots$