Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{8} - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Этап 4

Вынесем степень $10$ в выражении $x^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - 1}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Этап 7

Вынесем степень $8$ в выражении $x^{8}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - lim_{x \to - 8} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{{(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 8$ в степень $10$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{1073741824 - 1}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.3

Вычтем $1$ из $1073741824$ .

$\frac{\sqrt{1073741823}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.4

Перепишем $1073741823$ в виде $3^{2} \cdot 119304647$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $1073741823$ .

$\frac{\sqrt{9 (119304647)}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{{(- 8)}^{8} - 1 \cdot 1}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $- 8$ в степень $8$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1 \cdot 1}$

Этап 10.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777216 - 1}$

Этап 10.2.3

Вычтем $1$ из $16777216$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{16777215}$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $3$ и $16777215$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{119304647}$ .

$\frac{3 (\sqrt{119304647})}{16777215}$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $16777215$ .

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{119304647}}{3 \cdot 5592405}$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{119304647}}{5592405}$

Десятичная форма:

$0.00195312 \dots$