Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{4 x^{4} + 3}}{5 x^{2} + 2}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + 2}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}}{lim_{x \to 8} 5 x^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

Этап 8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}}{5 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2}$

Этап 10

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 3}}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 3}}{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 3}}{5 \cdot 8^{2} + 2}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 4096 + 3}}{5 \cdot 8^{2} + 2}$

Этап 12.1.2

Умножим $4$ на $4096$ .

$\frac{\sqrt{16384 + 3}}{5 \cdot 8^{2} + 2}$

Этап 12.1.3

Добавим $16384$ и $3$ .

$\frac{\sqrt{16387}}{5 \cdot 8^{2} + 2}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16387}}{5 \cdot 64 + 2}$

Этап 12.2.2

Умножим $5$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{16387}}{320 + 2}$

Этап 12.2.3

Добавим $320$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{16387}}{322}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{16387}}{322}$

Десятичная форма:

$0.39755191 \dots$