Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 6

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 7

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - 1}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 9

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.1.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.1.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.1.5

Вычтем $24$ из $128$ .

$\frac{104 - 6}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.1.6

Вычтем $6$ из $104$ .

$\frac{98}{\sqrt{8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1 \cdot 1}}$

Этап 12.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{98}{\sqrt{4096 - 1}}$

Этап 12.2.3

Вычтем $1$ из $4096$ .

$\frac{98}{\sqrt{4095}}$

Этап 12.2.4

Перепишем $4095$ в виде $3^{2} \cdot 455$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $4095$ .

$\frac{98}{\sqrt{9 (455)}}$

Этап 12.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{98}{\sqrt{3^{2} \cdot 455}}$

Этап 12.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{98}{3 \sqrt{455}}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ на $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98}{3 \sqrt{455}} \cdot \frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$

Этап 12.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{98}{3 \sqrt{455}}$ на $\frac{\sqrt{455}}{\sqrt{455}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \sqrt{455} \sqrt{455}}$

Этап 12.4.2

Перенесем $\sqrt{455}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 (\sqrt{455} \sqrt{455})}$

Этап 12.4.3

Возведем $\sqrt{455}$ в степень $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} \sqrt{455})}$

Этап 12.4.4

Возведем $\sqrt{455}$ в степень $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 ({\sqrt{455}}^{1} {\sqrt{455}}^{1})}$

Этап 12.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{1 + 1}}$

Этап 12.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {\sqrt{455}}^{2}}$

Этап 12.4.7

Перепишем ${\sqrt{455}}^{2}$ в виде $455$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{455}$ в виде $455^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 {(455^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455^{1}}$

Этап 12.4.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{98 \sqrt{455}}{3 \cdot 455}$

Этап 12.5

Сократим общий множитель $98$ и $455$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $7$ из $98 \sqrt{455}$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{3 \cdot 455}$

Этап 12.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Вынесем множитель $7$ из $3 \cdot 455$ .

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Этап 12.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (14 \sqrt{455})}{7 (3 \cdot 65)}$

Этап 12.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14 \sqrt{455}}{3 \cdot 65}$

Этап 12.6

Умножим $3$ на $65$ .

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{14 \sqrt{455}}{195}$

Десятичная форма:

$1.53143695 \dots$