Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x}{x + 1})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1})}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 + 1})}^{8})}$

Этап 4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8}{8 + 1})}^{8}$

Этап 4.3

Добавим $8$ и $1$ .

${(\frac{8}{9})}^{8}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8^{8}}{9^{8}}$

Этап 4.5

Возведем $8$ в степень $8$ .

$\frac{16777216}{9^{8}}$

Этап 4.6

Возведем $9$ в степень $8$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{16777216}{43046721}$

Десятичная форма:

$0.38974434 \dots$