Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 6

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Этап 9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 11

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 12

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.1.2

Умножим $9$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.1.3

Добавим $576$ и $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.1.4

Перепишем $592$ в виде $4^{2} \cdot 37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Этап 14.2.2

Добавим $512$ и $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Этап 14.2.3

Перепишем $513$ в виде $3^{2} \cdot 57$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Этап 14.2.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Этап 14.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Этап 14.3

Умножим $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ на $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Этап 14.4

Умножим $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ на $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Этап 14.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Этап 14.6

Упростим.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Этап 14.7

Сгруппируем $2 - 3 \sqrt{57}$ и $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Этап 14.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Этап 14.9

Умножим $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Этап 14.9.2

Умножим $37$ на $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Этап 14.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Десятичная форма:

$0.98708074 \dots$