Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 2}{x - 8}$

Этап 1

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[3]{x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.5.2.2

Добавим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1 + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3.4

Вынесем степень $\frac{2}{3}$ в выражении $x^{\frac{2}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 \cdot 2^{2}}$

Этап 5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4}$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{1}{12}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{12}$

Десятичная форма:

$0.08\overline{3}$