Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Этап 1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Этап 1.3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

Этап 4.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

Этап 5

Найдем предел $θ$ , подставив значение $0$ для $θ$ .

$\cos (0)$

Этап 6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$