Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} - 6 x^{4}}{9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 6 x^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 6 x^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 6 x^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 6 x^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 5

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 8} x^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 6

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 3 x - 6}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}$

Этап 8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{9 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}$

Этап 11

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - 6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - 6 \cdot 8^{4}}{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - 6 \cdot 8^{4}}{9 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} - 6 \cdot 8^{4}}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 - 6 \cdot 8^{4}}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{192 - 6 \cdot 8^{4}}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.3

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{192 - 6 \cdot 4096}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.4

Умножим $- 6$ на $4096$ .

$\frac{192 - 24576}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.1.5

Вычтем $24576$ из $192$ .

$\frac{- 24384}{9 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{- 24384}{9 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.2

Умножим $9$ на $64$ .

$\frac{- 24384}{576 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{- 24384}{576 - 24 - 1 \cdot 6}$

Этап 13.2.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 24384}{576 - 24 - 6}$

Этап 13.2.5

Вычтем $24$ из $576$ .

$\frac{- 24384}{552 - 6}$

Этап 13.2.6

Вычтем $6$ из $552$ .

$\frac{- 24384}{546}$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $- 24384$ и $546$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $6$ из $- 24384$ .

$\frac{6 (- 4064)}{546}$

Этап 13.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $546$ .

$\frac{6 \cdot - 4064}{6 \cdot 91}$

Этап 13.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot - 4064}{6 \cdot 91}$

Этап 13.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4064}{91}$

Этап 13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4064}{91}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{4064}{91}$

Десятичная форма:

$- 44.65934065 \dots$