Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt{x} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} \sqrt{x} - lim_{x \to 7} \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} x} - lim_{x \to 7} \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $\sqrt{7}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 7} x} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{7}}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.2.3

Вычтем $\sqrt{7}$ из $\sqrt{7}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 7}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 7}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{0}{7 - 1 \cdot 7}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{0}{7 - 7}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $7$ из $7$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{x} - \sqrt{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{7}]}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \sqrt{7}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{7}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.5.2.2

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 7]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 7} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} \sqrt{x}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} \sqrt{x}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 7} x}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $7$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Этап 4.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 4.2.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 4.2.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 4.2.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 4.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\sqrt{7}}{14}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{7}}{14}$

Десятичная форма:

$0.18898223 \dots$