Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

Этап 1.1.3.1.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{4^{2} + 9}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{16 + 9}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $5 - \sqrt{x^{2} + 9}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 9}$ в виде ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.8.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Этап 1.3.8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Этап 1.3.8.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Этап 1.3.8.4

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]))}$

Этап 1.3.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]))}$

Этап 1.3.8.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))}$

Этап 1.3.8.12

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Этап 1.3.8.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Этап 1.3.8.14

Объединим $2$ и $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Этап 1.3.8.15

Объединим $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Этап 1.3.8.16

Перенесем ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.17

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.8.18

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.9

Вычтем $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 4} - - \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 1.5

Перепишем ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$lim_{x \to 4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 4} 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Этап 1.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 2.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{4}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Этап 4.2

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Этап 4.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Этап 4.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$1.25$