Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} 3 x - \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Этап 5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 4}$

Этап 7

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 4}$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$3 lim_{x \to 8} x - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 lim_{x \to 8} x + 4}$

Этап 9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$3 \cdot 8 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 4}$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $3$ на $8$ .

$24 - \sqrt{9 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 4}$

Этап 10.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$24 - \sqrt{9 \cdot 64 - 4 \cdot 8 + 4}$

Этап 10.3

Умножим $9$ на $64$ .

$24 - \sqrt{576 - 4 \cdot 8 + 4}$

Этап 10.4

Умножим $- 4$ на $8$ .

$24 - \sqrt{576 - 32 + 4}$

Этап 10.5

Вычтем $32$ из $576$ .

$24 - \sqrt{544 + 4}$

Этап 10.6

Добавим $544$ и $4$ .

$24 - \sqrt{548}$

Этап 10.7

Перепишем $548$ в виде $2^{2} \cdot 137$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $4$ из $548$ .

$24 - \sqrt{4 (137)}$

Этап 10.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$24 - \sqrt{2^{2} \cdot 137}$

Этап 10.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$24 - (2 \sqrt{137})$

Этап 10.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$24 - 2 \sqrt{137}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$24 - 2 \sqrt{137}$

Десятичная форма:

$0.59060017 \dots$