Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{10 + 8 x^{2}}}{2 + 3 x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{10 + 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + 3 x}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} 3 x}$

Этап 8

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 + lim_{x \to 8} 3 x}$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 + 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}{2 + 3 lim_{x \to 8} x}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8 \cdot 8^{2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Умножим $8$ на $8^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{10 + 8^{1 + 2}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{10 + 8^{3}}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{10 + 512}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.3

Добавим $10$ и $512$ .

$\frac{\sqrt{522}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.4

Перепишем $522$ в виде $3^{2} \cdot 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $522$ .

$\frac{\sqrt{9 (58)}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 58}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{58}}{2 + 3 \cdot 8}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{3 \sqrt{58}}{2 + 24}$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ и $24$ .

$\frac{3 \sqrt{58}}{26}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3 \sqrt{58}}{26}$

Десятичная форма:

$0.87874305 \dots$