Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 8^{2} + 1}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{4 \cdot 64 + 1}}$

Этап 8.1.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{8}{\sqrt{256 + 1}}$

Этап 8.1.3

Добавим $256$ и $1$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt{257}}$ на $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$

Этап 8.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt{257}}$ на $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}}$

Этап 8.3.2

Возведем $\sqrt{257}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}}$

Этап 8.3.3

Возведем $\sqrt{257}$ в степень $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}}$

Этап 8.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}}$

Этап 8.3.6

Перепишем ${\sqrt{257}}^{2}$ в виде $257$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{257}$ в виде $257^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257^{1}}$

Этап 8.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8 \sqrt{257}}{257}$

Десятичная форма:

$0.49902628 \dots$