Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{9 x^{10} - 1}}{- 4 x^{5}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{- 4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{9 x^{10} - 1}}{x^{5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{10} - 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 lim_{x \to - 8} x^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 6

Вынесем степень $10$ в выражении $x^{10}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - lim_{x \to - 8} 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to - 8} x^{5}}$

Этап 8

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{5}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{5}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{{(- 8)}^{5}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим.

$\frac{1 \sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{- 4 {(- 8)}^{5}}$

Этап 10.2

Умножим $\sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{- 4 {(- 8)}^{5}}$

Этап 10.3

Возведем $- 8$ в степень $5$ .

$\frac{\sqrt{9 {(- 8)}^{10} - 1 \cdot 1}}{- 4 \cdot - 32768}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Возведем $- 8$ в степень $10$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 1073741824 - 1 \cdot 1}}{- 4 \cdot - 32768}$

Этап 10.4.2

Умножим $9$ на $1073741824$ .

$\frac{\sqrt{9663676416 - 1 \cdot 1}}{- 4 \cdot - 32768}$

Этап 10.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{9663676416 - 1}}{- 4 \cdot - 32768}$

Этап 10.4.4

Вычтем $1$ из $9663676416$ .

$\frac{\sqrt{9663676415}}{- 4 \cdot - 32768}$

Этап 10.5

Умножим $- 4$ на $- 32768$ .

$\frac{\sqrt{9663676415}}{131072}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{9663676415}}{131072}$

Десятичная форма:

$0.74999999 \dots$