Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 - 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{8 - 4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.2.7.4

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 12}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $12$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Этап 1.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 16 + 12}$

Этап 1.1.3.7.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{0}{4 - 16 + 12}$

Этап 1.1.3.7.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$\frac{0}{- 12 + 12}$

Этап 1.1.3.7.4

Добавим $- 12$ и $12$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.7

Добавим $3 x^{2} - 2 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Этап 1.3.8

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.10

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.10.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.11

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.11.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.11.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [12]}$

Этап 1.3.12

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + 0}$

Этап 1.3.13

Добавим $3 x^{2} - 2 x - 8$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8}$

Этап 2

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$