Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{2 x^{2} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + 64 x^{2} + x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 4

Вынесем член $16$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 64 x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 6

Вынесем член $64$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 4}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 11

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Этап 12

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 13.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 8^{4} + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 4096 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.2

Умножим $16$ на $4096$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 8^{2} + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 64 \cdot 64 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.4

Умножим $64$ на $64$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 8^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.5

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{65536 + 4096 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.6

Добавим $65536$ и $4096$ .

$\frac{\sqrt{69632 + 64}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.7

Добавим $69632$ и $64$ .

$\frac{\sqrt{69696}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.8

Перепишем $69696$ в виде $264^{2}$ .

$\frac{\sqrt{264^{2}}}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.1.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{264}{2 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{264}{2 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

Этап 14.2.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{264}{128 - 1 \cdot 4}$

Этап 14.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{264}{128 - 4}$

Этап 14.2.4

Вычтем $4$ из $128$ .

$\frac{264}{124}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $264$ и $124$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $4$ из $264$ .

$\frac{4 (66)}{124}$

Этап 14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $124$ .

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Этап 14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 66}{4 \cdot 31}$

Этап 14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{66}{31}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{66}{31}$

Десятичная форма:

$2.12903225 \dots$