Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 8} \frac{e^{x} - 2 x}{4 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 8} \frac{e^{x} - 2 x}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} e^{x} - 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 4

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 2 x}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to - 8} x} - 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 \cdot - 8}{lim_{x \to - 8} x}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 8$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{- 8} - 2 \cdot - 8}{- 8}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} - 2 \cdot - 8}{- 8}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 2$ на $- 8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} + 16}{- 8}$

Этап 7.1.3

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1}{e^{8}} + \frac{16 e^{8}}{e^{8}}}{- 8}$

Этап 7.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{- 8}$

Этап 7.2

Объединим.

$\frac{1 \frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{4 \cdot - 8}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{4 \cdot - 8}$

Этап 7.4

Умножим $4$ на $- 8$ .

$\frac{\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}}{- 32}$

Этап 7.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}} \cdot \frac{1}{- 32}$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}} (- \frac{1}{32})$

Этап 7.7

Умножим $\frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8}}$ на $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{e^{8} \cdot 32}$

Этап 7.8

Перенесем $32$ влево от $e^{8}$ .

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{32 e^{8}}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1 + 16 e^{8}}{32 e^{8}}$

Десятичная форма:

$- 0.50001048 \dots$