Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

Этап 1

Рационализируем числитель с помощью умножения.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем числитель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Этап 2.2.2

Добавим $3 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x) + x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Этап 3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Этап 5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Этап 7.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 7.4

Внесем предел под знак радикала.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 8

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 9.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 10

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Этап 11.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим $4 + 3 \cdot 0$ на $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.2

Добавим $4$ и $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Этап 11.3.2.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Этап 11.3.2.7

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Этап 11.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{4})$

Этап 11.3.4

Умножим $3 (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Этап 11.3.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Этап 11.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.75$