Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{4^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{4^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{4^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{4^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{0} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} - 1}{4^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4^{2 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 4^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4^{2 x} \ln (4) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{2 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{2 (2 x)} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 2^{4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4) + 0}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2^{1 + 4 x} \ln (4)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $4^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4) + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $4^{x} \ln (4)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x} \ln (4)}{4^{x} \ln (4)}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 4 x}}{4^{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{2^{1 + lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Этап 2.5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 4^{x}}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{2^{1 + 4 lim_{x \to 0} x}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2^{1 + 4 \cdot 0}}{4^{0}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{2^{1 + 0}}{4^{0}}$

Этап 4.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2^{1}}{4^{0}}$

Этап 4.1.3

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{4^{0}}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 4.3

Разделим $2$ на $1$ .

$2$