Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - 3 x - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18 - 3 \cdot 3 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{18 - 9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{18 - 9 - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $9$ из $18$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.2.7.3

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.6

Добавим $4 x - 3$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{2 x + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{4 x - 3}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 4 x - 3}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 2.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $4 \cdot 3 - 1 \cdot 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $4 \cdot 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 4 \cdot 3) - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 4 \cdot 3) - 1 (3)}{3}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 4 \cdot 3) - 1 (3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 4 \cdot 3 + 3)}{3}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- (- 4 \cdot 3 + 3)$ в виде $- 1 (- 4 \cdot 3 + 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 4 \cdot 3 + 3)}{3}$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $3$ из $- 1 (- 4 \cdot 3 + 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 4 + 1))}{3}$

Этап 4.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 4 + 1))}{3 (1)}$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 4 + 1))}{3 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 4 + 1)}{1}$

Этап 4.1.6.4

Разделим $- 1 (- 4 + 1)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 4 + 1))$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 (- 4 + 1)$ в виде $- (- 4 + 1)$ .

$\frac{1}{2} (- (- 4 + 1))$

Этап 4.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 3)$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3$

Этап 4.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$