Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.5

Умножим $5$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.7

Умножим $15$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{3 x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 (x^{2})}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x))}{3 x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Этап 2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Умножим $5$ на $0$ .

$5 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 \frac{0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8.4

Умножим $5$ на $0$ .

$5 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$5 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.2.8.6

Умножим $0$ на $1$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 \frac{0}{0^{2}}$

Этап 3.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x) \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{2} (5 x)$ и $g (x) = \cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sin^{2} (5 x)$ на $\sin (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перенесем $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.2

Умножим $\sin (5 x)$ на $\sin^{2} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (5 x) \sin^{2} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (5 x)}^{1 + 2} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [5 x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 1 \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 \cdot 1 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.8

Умножим $- 5$ на $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.9

Перенесем $- 5$ влево от $\sin^{3} (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + \cos (5 x) \cdot 2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.11

Перенесем $2$ влево от $\cos (5 x)$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cdot \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.12.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.12.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos (5 x) \sin (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.14

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 2 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.18

Умножим $5$ на $2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.20

Умножим $10$ на $1$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin^{3} (5 x) + 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.21

Изменим порядок членов.

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{2 x}$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 0} 10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 5 \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 lim_{x \to 0} \sin^{3} (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.10

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.12

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.14.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.4

Умножим $10$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot \sin (0) - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{10 \cdot 0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.7

Умножим $10$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.8

Умножим $5$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0^{3}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.1.11

Умножим $- 5$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.2.14.2

Добавим $0$ и $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 (\frac{1}{2}) \frac{0}{0}$

Этап 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) - 5 \sin^{3} (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x) \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.2

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6.2

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.10

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.11

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.12

Умножим $\cos^{2} (5 x)$ на $\cos (5 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.12.1

Перенесем $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.12.2

Умножим $\cos (5 x)$ на $\cos^{2} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.12.2.1

Возведем $\cos (5 x)$ в степень $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 ({\cos (5 x)}^{1 + 2} \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (\cos^{3} (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.13

Перенесем $5$ влево от $\cos^{3} (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cdot \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.14

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.15

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot 2 \cos (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.16

Умножим $- 5$ на $2$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.17

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.18

Возведем $\sin (5 x)$ в степень $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) {\sin (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \sin^{3} (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \sin^{3} (5 x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\sin (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.3.2

Производная $\sin (u_{5})$ по $u_{5}$ равна $\cos (u_{5})$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $5 x$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 3 \sin^{2} (5 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.8

Умножим $5$ на $3$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 5 \cdot 15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.4.9

Умножим $15$ на $- 5$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 (5 \cos^{3} (5 x) - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{10 \cdot 5 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Умножим $5$ на $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) + 10 \cdot - 10 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.2.2

Умножим $- 10$ на $10$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.2.3

Изменим порядок множителей в $- 100 \cos (5 x) \sin^{2} (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) - 75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.2.4

Вычтем $75 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ из $- 100 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{50 \cos^{3} (5 x) - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.5.3

Изменим порядок членов.

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)}{1}$

Этап 5.4

Разделим $- 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} - 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + 50 \cos^{3} (5 x)$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- lim_{x \to 0} 175 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.2

Вынесем член $175$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 {(lim_{x \to 0} \sin (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.8

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 50 \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.9

Вынесем член $50$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x))$

Этап 6.10

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3})$

Этап 6.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x))$

Этап 6.12

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$5 (\frac{1}{2}) (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \sin^{2} (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0^{2} \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{2} (- 175 \cdot 0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.4

Умножим $- 175$ на $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.5

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot \cos (0) + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{5}{2} (0 \cdot 1 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.7

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (5 \cdot 0))$

Этап 8.2.8

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cos^{3} (0))$

Этап 8.2.9

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1^{3})$

Этап 8.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{2} (0 + 50 \cdot 1)$

Этап 8.2.11

Умножим $50$ на $1$ .

$\frac{5}{2} (0 + 50)$

Этап 8.3

Добавим $0$ и $50$ .

$\frac{5}{2} \cdot 50$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{5}{2} \cdot (2 (25))$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 25)$

Этап 8.4.3

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 25$

Этап 8.5

Умножим $5$ на $25$ .

$125$