Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1.5} \frac{\sin (x - 2)}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1.5$ .

$\frac{lim_{x \to 1.5} \sin (x - 2)}{lim_{x \to 1.5} x^{2} - 4}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - 2)}{lim_{x \to 1.5} x^{2} - 4}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1.5$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - lim_{x \to 1.5} 2)}{lim_{x \to 1.5} x^{2} - 4}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1.5$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1.5} x^{2} - 4}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1.5$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1.5} x^{2} - lim_{x \to 1.5} 4}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1.5} x)}^{2} - lim_{x \to 1.5} 4}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1.5$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 1.5} x - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1.5} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1.5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1.5$ для $x$ .

$\frac{\sin (1.5 - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1.5} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1.5$ для $x$ .

$\frac{\sin (1.5 - 1 \cdot 2)}{{1.5}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sin (1.5 - 2)}{{1.5}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.1.2

Вычтем $2$ из $1.5$ .

$\frac{\sin (- 0.5)}{{1.5}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\sin (- 0.5)$ .

$\frac{- 0.47942553}{{1.5}^{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $1.5$ в степень $2$ .

$\frac{- 0.47942553}{2.25 - 1 \cdot 4}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 0.47942553}{2.25 - 4}$

Этап 9.2.3

Вычтем $4$ из $2.25$ .

$\frac{- 0.47942553}{- 1.75}$

Этап 9.3

Разделим $- 0.47942553$ на $- 1.75$ .

$0.27395745$