Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144 x$ по $x$ равна $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 144$ на $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $288$ является константой относительно $x$ , производная $288$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ и $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $36 x^{2} + 24 x - 96$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 144$ является константой относительно $x$ , производная $- 144 x$ по $x$ равна $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 144$ на $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $288$ является константой относительно $x$ , производная $288$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $- 96 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $- 144$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 5.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 5.2.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.2.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.2.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.2.2.3.4

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Этап 5.2.2.3.5

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Этап 5.2.2.3.6

Добавим $- 4$ и $16$ .

$12 - 12$

Этап 5.2.2.3.7

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 5.2.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Этап 5.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Этап 5.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 5.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 5.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Этап 5.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Этап 5.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Этап 5.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x - 12$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Этап 5.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Этап 5.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 6$

Этап 5.2.2.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ в виде набора множителей.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 5.2.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Этап 5.2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 5.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Этап 5.2.4.2

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Этап 5.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Этап 5.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 2, 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 96$

Этап 9.1.3

Умножим $24$ на $- 2$ .

$144 - 48 - 96$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $48$ из $144$ .

$96 - 96$

Этап 9.2.2

Вычтем $96$ из $96$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 2)$ в первую производную $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $12$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $12$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $- 96$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 768$ и $192$ .

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $- 576$ и $384$ .

$f' (- 4) = - 192 - 144$

Этап 10.2.2.2.3

Вычтем $144$ из $- 192$ .

$f' (- 4) = - 336$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 336$ .

$- 336$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 2, 3)$ в первую производную $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Этап 10.3.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Этап 10.3.2.1.5

Умножим $- 96$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 - 144$

Этап 10.3.2.2.3

Вычтем $144$ из $0$ .

$f' (0) = - 144$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 144$ .

$- 144$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $12$ на $216$ .

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $12$ на $36$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

Этап 10.4.2.1.5

Умножим $- 96$ на $6$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Добавим $2592$ и $432$ .

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

Этап 10.4.2.2.2

Вычтем $576$ из $3024$ .

$f' (6) = 2448 - 144$

Этап 10.4.2.2.3

Вычтем $144$ из $2448$ .

$f' (6) = 2304$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $2304$ .

$2304$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = - 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 3$ , $x = 3$ — локальный минимум.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11