Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.3.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.3.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.16

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.3

Вычтем $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 4.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 4.1.3.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 4.1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.3.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ умножим на $x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 5.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{3}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

Этап 9.1.4

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Этап 10

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 11.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

Этап 11.2.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3$

Этап 11.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$f (- 1) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Этап 13.3.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{2}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2

Окончательный ответ: $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Перенесем ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Этап 14.4.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

Этап 14.4.2.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Этап 14.4.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

Этап 14.4.2.1.2.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 14.4.2.2

Окончательный ответ: $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный максимум.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 1$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = - 1$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 15