Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \cos (x - π)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x - π)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x - π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - π])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - π])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - π$ .

$2 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 2 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 2 \sin (x - π) \cdot 1$

Этап 1.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \sin (x - π)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x - π)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x - π)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x - π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- π$ является константой относительно $x$ , производная $- π$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + 0)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) \cdot 1$

Этап 2.3.4.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \sin (x - π) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 \sin (x - π) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x - π) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (x - π)$ на $1$ .

$\sin (x - π) = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$\sin (x - π) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x - π = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x - π = 0$

Этап 7

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$x = π$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x - π = π - 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x - π = π$

Этап 9.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $π$ к обеим частям уравнения.

$x = π + π$

Этап 9.2.2

Добавим $π$ и $π$ .

$x = 2 π$

Этап 10

Решение уравнения $x - π = 0$ .

$x = π, 2 π$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos ((π) - π)$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$- 2 \cos (0)$

Этап 12.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 13

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \cos ((π) - π)$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (π) = 2 \cos (0)$

Этап 14.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Этап 14.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (π) = 2$

Этап 14.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = 2 π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos ((2 π) - π)$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$- 2 \cos (π)$

Этап 16.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (0))$

Этап 16.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.4

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Этап 16.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2$

Этап 17

$x = 2 π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2 π$ — локальный минимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos ((2 π) - π)$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (π)$

Этап 18.2.2

$f (2 π) = 2 (- \cos (0))$

Этап 18.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 18.2.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

Этап 18.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (2 π) = - 2$

Этап 18.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \cos (x - π)$ .

$(π, 2)$ — локальный максимум

$(2 π, - 2)$ — локальный минимум

Этап 20