Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - \frac{32}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{32}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{32}{x}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 - 32 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 - 32 (- x^{- 2})$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $- 32$ .

$2 + 32 x^{- 2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 32 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Объединим $32$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{32}{x^{2}} + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{32}{x^{2}} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 32 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $32$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 64 x^{- 3} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 64}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $- \frac{64}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{32}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6