Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} + 2 x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} x$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 2 x - 11$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = 6$ , $b = 2$ и $c = - 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.3

Добавим $4$ и $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $268$ в виде $2^{2} \cdot 67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.3

Добавим $4$ и $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $268$ в виде $2^{2} \cdot 67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

Этап 5.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Этап 5.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $4$ и $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $268$ в виде $2^{2} \cdot 67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.6.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

Этап 5.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Этап 5.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ в числитель.

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 9.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Этап 9.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0 + 2 \sqrt{67}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2 \sqrt{67}$ .

$2 \sqrt{67}$

Этап 10

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ в числитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $216$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.8

Умножим ${\sqrt{67}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.10

Умножим $3$ на $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.13

Перепишем ${\sqrt{67}}^{3}$ в виде $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.14

Возведем $67$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.15

Перепишем $300763$ в виде $67^{2} \cdot 67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.15.1

Вынесем множитель $4489$ из $300763$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.15.2

Перепишем $4489$ в виде $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.6.17

Умножим $67$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.7

Добавим $1$ и $201$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.8

Вычтем $67 \sqrt{67}$ из $- 3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.9

Сократим общий множитель $202 - 70 \sqrt{67}$ и $108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- (202 - 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.13

Умножим $\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.14

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.15

Перепишем ${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.16

Развернем $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.17.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.2

Умножим $- \sqrt{67}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4

Умножим $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.17.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4.2

Умножим $\sqrt{67}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4.3

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4.4

Возведем $\sqrt{67}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.17.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.17.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.2

Добавим $1$ и $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.17.3

Вычтем $\sqrt{67}$ из $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18

Сократим общий множитель $68 - 2 \sqrt{67}$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $68$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.18.4.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.18.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.19

Умножим $- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.19.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Этап 11.2.1.19.2

Объединим $11$ и $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.5

Изменим порядок множителей в $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $3$ на $18$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $6$ на $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $101$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $- 35$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.5

Умножим $34$ на $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.8

Умножим $11$ на $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.9

Умножим $- 1$ на $11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.11

Умножим $11$ на $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Этап 11.2.4.12

Умножим $9$ на $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 11.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $- 101$ и $102$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $1$ и $99$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 11.2.5.3

Вычтем $3 \sqrt{67}$ из $35 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 11.2.5.4

Вычтем $99 \sqrt{67}$ из $32 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ в числитель.

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 13.1.1.2

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 13.1.1.3

Сократим общий множитель.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Этап 13.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

Этап 13.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0 - 2 \sqrt{67}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2 \sqrt{67}$ из $0$ .

$- 2 \sqrt{67}$

Этап 14

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ в числитель.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $216$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.5

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5

Перепишем ${\sqrt{67}}^{2}$ в виде $67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{67}$ в виде $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.6

Умножим $3$ на $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.7

Перепишем ${\sqrt{67}}^{3}$ в виде $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.8

Возведем $67$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.9

Перепишем $300763$ в виде $67^{2} \cdot 67$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.9.1

Вынесем множитель $4489$ из $300763$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.9.2

Перепишем $4489$ в виде $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.6.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.7

Добавим $1$ и $201$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.8

Добавим $3 \sqrt{67}$ и $67 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.9

Сократим общий множитель $202 + 70 \sqrt{67}$ и $108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- (202 + 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.13

Умножим $\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.14

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.15

Перепишем ${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.16

Развернем $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.16.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.17.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.2

Умножим $\sqrt{67}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.3

Умножим $\sqrt{67}$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.5

Умножим $67$ на $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.6

Перепишем $4489$ в виде $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.2

Добавим $1$ и $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.17.3

Добавим $\sqrt{67}$ и $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18

Сократим общий множитель $68 + 2 \sqrt{67}$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.18.1

Вынесем множитель $2$ из $68$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.18.4.1

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.18.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.19

Умножим $- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.19.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Этап 15.2.1.19.2

Объединим $11$ и $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.5

Изменим порядок множителей в $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $3$ на $18$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Этап 15.2.2.7

Умножим $6$ на $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 1$ на $101$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $35$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.5

Умножим $34$ на $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.6

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.8

Умножим $11$ на $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.10

Умножим $11$ на $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Этап 15.2.4.11

Умножим $9$ на $11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 15.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 101$ и $102$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $1$ и $99$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $- 35 \sqrt{67}$ и $3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Этап 15.2.5.4

Добавим $- 32 \sqrt{67}$ и $99 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ .

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ — локальный минимум

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ — локальный максимум

Этап 17