Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 7 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $4 x - 7$ и $0$ .

$4 x - 7$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x - 7 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 7 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 x - 7 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x - 7 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $4 x - 7$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x - 7$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x - 7$ .

$4 x - 7$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x - 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x - 7 = 0$

Этап 5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 7$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 x = 7$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 x = 7$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{7}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{7}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4$

Этап 9

$x = \frac{7}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{7}{4}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{7}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 {(\frac{7}{4})}^{2} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{4^{2}}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{16}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 (8)}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7}{4}) = 2 (\frac{49}{2 \cdot 8}) - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - 7 (\frac{7}{4}) + 5$

Этап 10.2.1.5

Умножим $- 7 (\frac{7}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.5.1

Объединим $- 7$ и $\frac{7}{4}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 7 \cdot 7}{4} + 5$

Этап 10.2.1.5.2

Умножим $- 7$ на $7$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} + \frac{- 49}{4} + 5$

Этап 10.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49}{4} + 5$

Этап 10.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $\frac{49}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - (\frac{49}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 5$

Этап 10.2.2.2

Умножим $\frac{49}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 5$

Этап 10.2.2.3

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1}$

Этап 10.2.2.4

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 10.2.2.5

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Этап 10.2.2.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Этап 10.2.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{8} - \frac{49 \cdot 2}{8} + \frac{5 \cdot 8}{8}$

Этап 10.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 49 \cdot 2 + 5 \cdot 8}{8}$

Этап 10.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $- 49$ на $2$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 5 \cdot 8}{8}$

Этап 10.2.4.2

Умножим $5$ на $8$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{49 - 98 + 40}{8}$

Этап 10.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Вычтем $98$ из $49$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 49 + 40}{8}$

Этап 10.2.5.2

Добавим $- 49$ и $40$ .

$f (\frac{7}{4}) = \frac{- 9}{8}$

Этап 10.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{7}{4}) = - \frac{9}{8}$

Этап 10.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{9}{8}$ .

$y = - \frac{9}{8}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 5$ .

$(\frac{7}{4}, - \frac{9}{8})$ — локальный минимум

Этап 12