Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $24$ на $1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 30 x + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 30$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x - 30$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $24$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x + 24 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) + 24 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 4) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 4) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 4, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (4) - 30$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $12$ на $4$ .

$48 - 30$

Этап 9.2

Вычтем $30$ из $48$ .

$18$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 2 {(4)}^{3} - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 2 \cdot 64 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$f (4) = 128 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Этап 11.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 128 - 15 \cdot 16 + 24 (4)$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 15$ на $16$ .

$f (4) = 128 - 240 + 24 (4)$

Этап 11.2.1.5

Умножим $24$ на $4$ .

$f (4) = 128 - 240 + 96$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $240$ из $128$ .

$f (4) = - 112 + 96$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 112$ и $96$ .

$f (4) = - 16$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$y = - 16$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (1) - 30$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 30$

Этап 13.2

Вычтем $30$ из $12$ .

$- 18$

Этап 14

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 - 15 \cdot 1 + 24 (1)$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 15$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24 (1)$

Этап 15.2.1.5

Умножим $24$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $15$ из $2$ .

$f (1) = - 13 + 24$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 13$ и $24$ .

$f (1) = 11$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $11$ .

$y = 11$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ .

$(4, - 16)$ — локальный минимум

$(1, 11)$ — локальный максимум

Этап 17