Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 24 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $6 x^{2} - 24$ и $0$ .

$6 x^{2} - 24$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} - 24 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 24 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $6 x^{2} - 24$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 24$ .

$6 x^{2} - 24$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 24 = 0$

Этап 5.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} = 24$

Этап 5.3

Разделим каждый член $6 x^{2} = 24$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $6 x^{2} = 24$ на $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{24}{6}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $24$ на $6$ .

$x^{2} = 4$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (2)$

Этап 9

Умножим $12$ на $2$ .

$24$

Этап 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2 - 5$

Этап 11.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 24 \cdot 2 - 5$

Этап 11.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (2) = 2^{4} - 24 \cdot 2 - 5$

Этап 11.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 2 - 5$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 24$ на $2$ .

$f (2) = 16 - 48 - 5$

Этап 11.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $48$ из $16$ .

$f (2) = - 32 - 5$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $5$ из $- 32$ .

$f (2) = - 37$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 37$ .

$y = - 37$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (- 2)$

Этап 13

Умножим $12$ на $- 2$ .

$- 24$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 24 \cdot - 2 - 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 24 \cdot - 2 - 5$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 - 24 \cdot - 2 - 5$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 24$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 48 - 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 16$ и $48$ .

$f (- 2) = 32 - 5$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $5$ из $32$ .

$f (- 2) = 27$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$y = 27$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ .

$(2, - 37)$ — локальный минимум

$(- 2, 27)$ — локальный максимум

Этап 17