Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x e^{x} + 2$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x e^{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ и $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок членов.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок множителей в $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.3

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2.4.2

Добавим $3 e^{x}$ и $3 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 3 e^{x} x + 6 e^{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $3 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x e^{x} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.2

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.3

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ и $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок членов.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Этап 4.1.4.4

Изменим порядок множителей в $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 e^{x}$ из $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 e^{x}$ из $3 x e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 e^{x}$ из $3 e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 e^{x}$ из $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1)$ .

$3 e^{x} (x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 e^{x} (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 (- 1) e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Этап 9.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{e} + 6 e^{- 1}$

Этап 9.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 3}{e} + 6 e^{- 1}$

Этап 9.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{e} + 6 e^{- 1}$

Этап 9.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{e} + 6 \frac{1}{e}$

Этап 9.1.6

Объединим $6$ и $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{3}{e} + \frac{6}{e}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 6}{e}$

Этап 9.2.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$\frac{3}{e}$

Этап 10

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 3 (- 1) \cdot e^{- 1} + 2$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot e^{- 1} + 2$

Этап 11.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot \frac{1}{e} + 2$

Этап 11.2.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{e} + 2$

Этап 11.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{3}{e} + 2$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{3}{e} + 2$ .

$y = - \frac{3}{e} + 2$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x e^{x} + 2$ .

$(- 1, - \frac{3}{e} + 2)$ — локальный минимум

Этап 13