Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{3}{5}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.9

Объединим $4$ и $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 1.3.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2}{5} \cdot - 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.5.2

Умножим $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{- 4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ и $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{3}{5}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.13

Умножим $x^{- \frac{3}{5}}$ на $x^{- \frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{3}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{5} - \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.13.4

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{7}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $\frac{12}{5}$ на $\frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot 2}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.16

Умножим $12$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.2.17

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Этап 2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Этап 2.3.11

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ и $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13

Умножим $x^{- \frac{4}{5}}$ на $x^{- \frac{2}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.3

Вычтем $2$ из $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Этап 2.3.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Этап 2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Этап 2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + 1 (\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2.3.16

Умножим $\frac{4}{5}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2.3.17

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Этап 2.3.18

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{3}{5}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.2

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.8

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.9

Объединим $4$ и $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$f' (x) = \frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 4.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 4.1.3.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Этап 5.2.2

Since $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 5.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.6

НОК $5, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 5.2.7

НОК $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{2}{5}}$

Этап 5.2.8

НОК $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x^{\frac{2}{5}}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ умножим на $5 x^{\frac{2}{5}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ на $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$12 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ в числитель.

$12 + \frac{- 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ из $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ из $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 \cdot 1} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0 (5 x^{\frac{2}{5}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 x^{\frac{2}{5}}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{\frac{1}{5}} = - 12$

Этап 5.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $5$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Упростим ${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 4 x^{\frac{1}{5}}$ .

${(- 4)}^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Возведем $- 4$ в степень $5$ .

$- 1024 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1024 x^{1} = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.1.1.4

Упростим.

$- 1024 x = {(- 12)}^{5}$

Этап 5.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Возведем $- 12$ в степень $5$ .

$- 1024 x = - 248832$

Этап 5.4.4

Разделим каждый член $- 1024 x = - 248832$ на $- 1024$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Разделим каждый член $- 1024 x = - 248832$ на $- 1024$ .

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Этап 5.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 1024$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Этап 5.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 248832}{- 1024}$

Этап 5.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Разделим $- 248832$ на $- 1024$ .

$x = 243$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{2} = 0^{5}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $3125 x^{2} = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Разделим каждый член $3125 x^{2} = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Зададим знаменатель в $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Этап 6.5.2.2.1.4

Упростим.

$3125 x = 0^{5}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3125 x = 0$

Этап 6.5.3

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим каждый член $3125 x = 0$ на $3125$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Сократим общий множитель $3125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Этап 6.5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Этап 6.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1

Разделим $0$ на $3125$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 243, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 243$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{25 {(243)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем $243$ в виде $3^{5}$ .

$\frac{4}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{6}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.1.4

Возведем $3$ в степень $6$ .

$\frac{4}{25 \cdot 729} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.2

Умножим $25$ на $729$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Перепишем $243$ в виде $3^{5}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 9.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Этап 9.1.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Этап 9.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{7}}$

Этап 9.1.3.4

Возведем $3$ в степень $7$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 2187}$

Этап 9.1.4

Умножим $25$ на $2187$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{54675}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $24$ и $54675$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 (8)}{54675}$

Этап 9.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $54675$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Этап 9.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Этап 9.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{18225} - \frac{8}{18225}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 8}{18225}$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4}{18225}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{18225}$

Этап 10

$x = 243$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 243$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 243$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $243$ .

$f (243) = 4 {(243)}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем $243$ в виде $3^{5}$ .

$f (243) = 4 {(3^{5})}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (243) = 4 \cdot 3^{3} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (243) = 4 \cdot 27 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $4$ на $27$ .

$f (243) = 108 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.6

Перепишем $243$ в виде $3^{5}$ .

$f (243) = 108 - {(3^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Этап 11.2.1.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Этап 11.2.1.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Сократим общий множитель.

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Этап 11.2.1.8.2

Перепишем это выражение.

$f (243) = 108 - 3^{4}$

Этап 11.2.1.9

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (243) = 108 - 1 \cdot 81$

Этап 11.2.1.10

Умножим $- 1$ на $81$ .

$f (243) = 108 - 81$

Этап 11.2.2

Вычтем $81$ из $108$ .

$f (243) = 27$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$y = 27$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$\frac{4}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.3.2

Умножим $25$ на $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 243) \cup (243, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Чтобы записать $- \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.2.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Умножим $\frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.2.2.2.2

Умножим ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ на ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.2.1

Перенесем ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 ({(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}})}$

Этап 14.2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.2.2.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Этап 14.2.2.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.2.2.4

Окончательный ответ: $\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 243)$ в первую производную $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 {(2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(2)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1

Умножим $\frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.3.2

Умножим $2^{\frac{1}{5}}$ на $2^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.2.1

Перенесем $2^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}$

Этап 14.3.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.3.2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Этап 14.3.2.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{12 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5

Умножим $- 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (2) = \frac{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{12 - (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.5

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.5.7.1

Умножим $2$ на $5$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{10 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.5.7.2

Добавим $10$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $246$ , из интервала $(243, \infty)$ в первую производную $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $246$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 {(246)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(246)}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.2

Чтобы записать $- \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.1

Умножим $\frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ на $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2

Умножим $246^{\frac{1}{5}}$ на $246^{\frac{1}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.2.1

Перенесем $246^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}})}$

Этап 14.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Этап 14.4.2.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (246) = \frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 243$ , $x = 243$ — локальный максимум.

$x = 243$ — локальный максимум

Этап 15