Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 - x^{4} y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4} y^{4}$ по $x$ равна $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Этап 1.3

Вычтем $4 y^{4} x^{3}$ из $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4 y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{4} x^{3}$ по $x$ равна $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $4 - x^{4} y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4} y^{4}$ по $x$ равна $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4 y^{4} x^{3}$ из $0$ .

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ на $- 4 y^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ на $- 4 y^{4}$ .

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{4}$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $0$ на $- y^{4}$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 12 y^{4} \cdot 0$

Этап 9.2

Умножим $- 12 y^{4} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $0$ на $- 12$ .

$0 y^{4}$

Этап 9.2.2

Умножим $0$ на $y^{4}$ .

$0$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11