Математический анализ Примеры

$f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 413$ является константой относительно $x$ , производная $- 413 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 2$ на $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $0.000004$ является константой относительно $x$ , производная $0.000004 x$ по $x$ равна $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $0.000004$ на $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Этап 1.4.2

Объединим $826$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [0.000004]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{826}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{826}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $826$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{826}{x^{3}}$ по $x$ равна $826 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 826 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 826 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 826 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 826 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = 826 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.2.8

Умножим $- 3$ на $826$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (0.000004)$

Этап 2.3

Поскольку $0.000004$ является константой относительно $x$ , производная $0.000004$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2478 x^{- 4} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2478 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 2478$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2478}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $- \frac{2478}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2478}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 413 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 413$ является константой относительно $x$ , производная $- 413 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 413 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 413 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 2$ на $- 413$ .

$826 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [0.000004 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.000004 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $0.000004$ является константой относительно $x$ , производная $0.000004 x$ по $x$ равна $0.000004 \frac{d}{d x} [x]$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $0.000004$ на $1$ .

$826 x^{- 3} + 0.000004$

Этап 4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$826 \frac{1}{x^{3}} + 0.000004$

Этап 4.1.4.2

Объединим $826$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{826}{x^{3}} + 0.000004 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $0.000004$ из обеих частей уравнения.

$\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{826}{x^{3}} = - 0.000004$ на $x^{3}$ .

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{826}{x^{3}} x^{3} = - 0.000004 x^{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$826 = - 0.000004 x^{3}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 0.000004 x^{3} = 826$ .

$- 0.000004 x^{3} = 826$

Этап 5.5.2

Вычтем $826$ из обеих частей уравнения.

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $- 0.000004$ из $- 0.000004 x^{3} - 826$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем множитель $- 0.000004$ из $- 0.000004 x^{3}$ .

$- 0.000004 x^{3} - 826 = 0$

Этап 5.5.3.2

Вынесем множитель $- 0.000004$ из $- 826$ .

$- 0.000004 x^{3} - 0.000004 \cdot 206500000 = 0$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 0.000004$ из $- 0.000004 (x^{3}) - 0.000004 (206500000)$ .

$- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ на $- 0.000004$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $- 0.000004 (x^{3} + 206500000) = 0$ на $- 0.000004$ .

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.000004$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.000004 (x^{3} + 206500000)}{- 0.000004} = \frac{0}{- 0.000004}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $x^{3} + 206500000$ на $1$ .

$x^{3} + 206500000 = \frac{0}{- 0.000004}$

Этап 5.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Разделим $0$ на $- 0.000004$ .

$x^{3} + 206500000 = 0$

Этап 5.5.5

Вычтем $206500000$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 206500000$

Этап 5.5.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- 206500000}$

Этап 5.5.7

Упростим $\sqrt[3]{- 206500000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1

Перепишем $- 206500000$ в виде ${(- 50)}^{3} \cdot 1652$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.7.1.1

Вынесем множитель $- 125000$ из $- 206500000$ .

$x = \sqrt[3]{- 125000 (1652)}$

Этап 5.5.7.1.2

Перепишем $- 125000$ в виде ${(- 50)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 50)}^{3} \cdot 1652}$

Этап 5.5.7.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{826}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2478}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{2478}{{(- 50)}^{4} {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Этап 9.1.2

Возведем $- 50$ в степень $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 {\sqrt[3]{1652}}^{4}}$

Этап 9.1.3

Перепишем ${\sqrt[3]{1652}}^{4}$ в виде $\sqrt[3]{1652^{4}}$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{4}}}$

Этап 9.1.4

Возведем $1652$ в степень $4$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{7448008642816}}$

Этап 9.1.5

Перепишем $7448008642816$ в виде $1652^{3} \cdot 1652$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $4508479808$ из $7448008642816$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{4508479808 (1652)}}$

Этап 9.1.5.2

Перепишем $4508479808$ в виде $1652^{3}$ .

$- \frac{2478}{6250000 \sqrt[3]{1652^{3} \cdot 1652}}$

Этап 9.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{2478}{6250000 \cdot 1652 \sqrt[3]{1652}}$

Этап 9.1.7

Умножим $6250000$ на $1652$ .

$- \frac{2478}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2478$ и $10325000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $826$ из $2478$ .

$- \frac{826 (3)}{10325000000 \sqrt[3]{1652}}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $826$ из $10325000000 \sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{826 (3)}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{826 \cdot 3}{826 (12500000 \sqrt[3]{1652})}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- (\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}})$

Этап 9.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $\frac{3}{12500000 \sqrt[3]{1652}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}{{\sqrt[3]{1652}}^{2}}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2}}$

Этап 9.4.2

Перенесем $\sqrt[3]{1652}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 (\sqrt[3]{1652} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Этап 9.4.3

Возведем $\sqrt[3]{1652}$ в степень $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 ({\sqrt[3]{1652}}^{1} {\sqrt[3]{1652}}^{2})}$

Этап 9.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{1 + 2}}$

Этап 9.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {\sqrt[3]{1652}}^{3}}$

Этап 9.4.6

Перепишем ${\sqrt[3]{1652}}^{3}$ в виде $1652$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1652}$ в виде $1652^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 {(1652^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 9.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 9.4.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.4.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{\frac{3}{3}}}$

Этап 9.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652^{1}}$

Этап 9.4.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{1652}}^{2}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{1652^{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{1652^{2}}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5.2

Возведем $1652$ в степень $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2729104}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5.3

Перепишем $2729104$ в виде $2^{3} \cdot 341138$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.3.1

Вынесем множитель $8$ из $2729104$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{8 (341138)}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{3 \cdot 2 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.5.5

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{12500000 \cdot 1652}$

Этап 9.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $12500000$ на $1652$ .

$- \frac{6 \sqrt[3]{341138}}{20650000000}$

Этап 9.6.2

Сократим общий множитель $6$ и $20650000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt[3]{341138}$ .

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{20650000000}$

Этап 9.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $20650000000$ .

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 (10325000000)}$

Этап 9.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (3 \sqrt[3]{341138})}{2 \cdot 10325000000}$

Этап 9.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 \sqrt[3]{341138}}{10325000000}$

Этап 10

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 50 \sqrt[3]{1652}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 {(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{- 2} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50 \sqrt[3]{1652})}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- 50 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{{(- 50)}^{2} {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 {\sqrt[3]{1652}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем ${\sqrt[3]{1652}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{1652^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{1652^{2}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.4

Возведем $1652$ в степень $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2729104}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.5

Перепишем $2729104$ в виде $2^{3} \cdot 341138$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.5.1

Вынесем множитель $8$ из $2729104$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{8 (341138)}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.5.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{2500 \cdot (2 \sqrt[3]{341138})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.2.7

Умножим $2500$ на $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 (\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Умножим $\frac{1}{5000 \sqrt[3]{341138}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.2

Перенесем $\sqrt[3]{341138}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.3

Возведем $\sqrt[3]{341138}$ в степень $1$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 (\sqrt[3]{341138} {\sqrt[3]{341138}}^{2})} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{1 + 2}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {\sqrt[3]{341138}}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt[3]{341138}}^{3}$ в виде $341138$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{341138}$ в виде $341138^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 {(341138^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138^{\frac{3}{3}}} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{{\sqrt[3]{341138}}^{2}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{341138}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{341138^{2}}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{341138^{2}}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.5.2

Возведем $341138$ в степень $2$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{116375135044}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.5.3

Перепишем $116375135044$ в виде $413^{3} \cdot 1652$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.3.1

Вынесем множитель $70444997$ из $116375135044$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{70444997 (1652)}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.5.3.2

Перепишем $70444997$ в виде $413^{3}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{\sqrt[3]{413^{3} \cdot 1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{5000 \cdot 341138} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.6

Умножим $5000$ на $341138$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 413 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.7

Сократим общий множитель $413$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Вынесем множитель $413$ из $- 413$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 (- 1) (\frac{413 \sqrt[3]{1652}}{1705690000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.7.2

Вынесем множитель $413$ из $1705690000$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = 413 \cdot (- 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 4130000}) + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.8

Сократим общий множитель $413$ и $4130000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.1

Вынесем множитель $413$ из $413 \sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 (\sqrt[3]{1652})}{4130000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.8.2.1

Вынесем множитель $413$ из $4130000$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{413 \sqrt[3]{1652}}{413 \cdot 10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.9

Перепишем $- 1 \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ в виде $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} + 0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$

Этап 11.2.1.10

Умножим $0.000004 (- 50 \sqrt[3]{1652})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Умножим $- 50$ на $0.000004$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.0002 \sqrt[3]{1652}$

Этап 11.2.1.10.2

Умножим $- 0.0002$ на $\sqrt[3]{1652}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000} - 0.00236428$

Этап 11.2.2

Вычтем $0.00236428$ из $- \frac{\sqrt[3]{1652}}{10000}$ .

$f (- 50 \sqrt[3]{1652}) = - 0.00354642$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 0.00354642$ .

$y = - 0.00354642$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = - 413 x^{- 2} + 0.000004 x$ .

$(- 50 \sqrt[3]{1652}, - 0.00354642)$ — локальный максимум

Этап 13