Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{x} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- \frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6