Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $\frac{2}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 - x^{- 2}$

Этап 4.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 5.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 5.5.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.5.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{\frac{1}{2^{3}}}$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{\frac{1}{8}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \cdot 8$

Этап 9.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 11.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 1 \cdot 2$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 2$

Этап 11.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Этап 13.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Этап 13.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{- \frac{1}{8}}$

Этап 13.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 (- 1 \cdot 8)$

Этап 13.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$2 \cdot - 8$

Этап 13.3.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- 16$

Этап 14

$x = - \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 15.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - (1 \cdot 2)$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- (1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 1 \cdot 2$

Этап 15.2.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 2$

Этап 15.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 4$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{2}, 4)$ — локальный минимум

$(- \frac{1}{2}, - 4)$ — локальный максимум

Этап 17